Calculer avec les fractions
Utiliser une fraction non plus seulement comme un nombre à situer, mais comme un opérateur qui agit sur une quantité : calculer une part d'une quantité, additionner et soustraire des fractions, et — au CM2 — multiplier une fraction par un nombre entier. C'est le pendant, pour les fractions, de ce que sont les quatre opérations pour les nombres entiers et décimaux.
La leçon
Comprendre calculer avec les fractions
Exemple
Calculer les 3/4 de 20 € : on divise d'abord 20 par 4, ce qui donne 5 € (la valeur d'un quart), puis on multiplie par 3, ce qui donne 15 €. Calculer 1/2 + 1/4 : on réécrit 1/2 en quarts, soit 2/4, puis 2/4 + 1/4 = 3/4.
À éviter
Additionner 1/2 + 1/4 en faisant 2/6 est faux : on ne fait pas la somme des dénominateurs. Le dénominateur indique la taille des parts, et additionner des demis avec des quarts suppose de d'abord les exprimer avec la même taille de parts. De même, 3 × 2/5 ne vaut pas 6/15 : on multiplie le numérateur, pas le dénominateur.
L'astuce pour mémoriser
Pour une part d'une quantité : « je partage d'abord, je prends ensuite » — on divise par le nombre du bas, on multiplie par le nombre du haut. Pour une addition : « mêmes parts, même nom » — on ne peut additionner que des parts de même taille, et le nom de la part (le dénominateur) ne change pas.
À surveiller
Les erreurs fréquentes
- Additionner les dénominateurs entre eux (écrire 1/2 + 1/4 = 2/6).
- Multiplier aussi le dénominateur quand on multiplie une fraction par un entier (écrire 3 × 2/5 = 6/15).
- Multiplier avant de diviser pour calculer une part d'une quantité, ce qui donne des nombres inutilement grands.
- Oublier de transformer la première fraction quand les dénominateurs sont différents.
- Croire qu'un résultat supérieur à 1 est forcément une erreur : 5/4 + 2/4 = 7/4 est parfaitement correct.
Pour les parents
Comment accompagner votre enfant
- 1Faites manipuler avant de calculer : partager 20 jetons en 4 tas, puis en prendre 3, rend la règle évidente.
- 2Pour les additions, une bande de papier pliée en 4 montre immédiatement pourquoi 1/2 doit devenir 2/4.
- 3Ne demandez pas à votre enfant de simplifier ses résultats : ce n'est pas au programme de l'école primaire, et les exercices sont conçus pour que cela ne soit jamais nécessaire.
- 4Le produit d'un entier par une fraction n'arrive qu'au CM2 : au CM1, mieux vaut consolider la part d'une quantité et les additions.
Questions fréquentes
Vous vous posez ces questions
Comment calculer une fraction d'une quantité ?
On divise d'abord par le dénominateur, puis on multiplie par le numérateur. Pour les 3/4 de 20 € : 20 ÷ 4 = 5 (un quart vaut 5 €), puis 3 × 5 = 15 €. Faire la division en premier garde des nombres plus petits et plus faciles à manipuler.
Pourquoi le dénominateur ne change-t-il pas quand on additionne deux fractions ?
Parce que le dénominateur dit quelle est la TAILLE des parts, et le numérateur COMBIEN on en prend. Additionner trois huitièmes et deux huitièmes, c'est réunir cinq huitièmes : la taille des parts n'a pas bougé, seul leur nombre a changé. C'est la même logique que « 3 pommes + 2 pommes = 5 pommes ».
Que faire quand les deux fractions n'ont pas le même dénominateur ?
À l'école primaire, on ne rencontre que le cas où l'un des dénominateurs est un multiple de l'autre. On réécrit alors la fraction au dénominateur le plus petit pour qu'elle ait le même dénominateur que l'autre : 1/2 + 3/8 devient 4/8 + 3/8 = 7/8.
En quelle classe apprend-on à multiplier une fraction par un nombre entier ?
Au CM2. Le programme du CM1 n'inclut pas cet objectif : on y travaille la fraction d'une quantité et l'addition ou la soustraction de fractions. Au CM2, multiplier une fraction par un entier revient à l'additionner plusieurs fois : 3 × 2/5 = 2/5 + 2/5 + 2/5 = 6/5.
Faut-il simplifier le résultat ?
Non. La simplification des fractions n'est pas un attendu de l'école primaire : elle est travaillée au collège. Nos exercices sont construits pour que le résultat tombe toujours sous une forme qui n'appelle pas de simplification.
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